首先，邻居用刀砍你家门是违法行为，应立即报警处理。其次，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》等相关法律，故意损毁他人财物可受行政处罚，严重者可构成犯罪。不及时处理，可能导致你及家人的人身安全受到持续威胁，财产损失扩大。
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常见的处理方式包括协商、报警和诉讼。首先尝试与邻居协商赔偿，无果后应立即报警，让警方介入调查处理。若警方处理不当或未达预期效果，可向人民法院提起诉讼，用法律手段维护自身权益。
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应对方式如下：1. 紧急避险：确保自身安全，远离危险区域，及时报警。2. 协商调解：与邻居沟通，了解其动机，尝试协商赔偿事宜。3. 法律手段：收集证据，如监控、照片等，报警并考虑后续诉讼，依据《治安管理处罚法》等追求其法律责任。